ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 88170
Темы:    [ Куб ]
[ Перестройки ]
Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Переложите пирамиду из 10 кубиков (см. рисунок) так, чтобы её форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Подумайте, какие кубики можно поставить в центр пирамиды, какие  — в вершины.

Решение

Заметим следующее: кубик, стоящий в центре, соприкасается с шестью кубиками; кубики, стоящие в вершинах,  — с двумя; а кубики, стоящие на сторонах треугольника,  — с четырьмя. Отсюда сразу можно заключить, что при новой перекладке кубик из центра может попасть только в вершину, а в центр, наоборот,  — только из вершины. Для определённости, пусть в центр попадёт кубик 1, а кубик 5  — в верхнюю вершину. Тогда на место кубиков 2 и 3 могут лечь только кубики 7 и 10, поскольку остальные кубики уже соприкасались с кубиком 5 (рис. 1). В нижние вершины должны лечь кубики 2 и 3. Расположение остальных кубиков определим перебором. Окончательный вариант показан на рис. 2.

Заметим, что уже имея одно решение, можжно получить ещё несколько. Вопервых, пирамиду можно поворачивать на 120o, что даст ещё два решения. Вовторых, её можно симметрично отражать относительно медианы верхней вершины  — при этом число решений удваивается. Кроме того, напомним, что в самом начале в качестве центрального кубика мы взяли 1, хотя могли взять 1, 7 или 10, и это даст утроение общего количества ответов. Таким образом, из приведённого на рис. 2 решения можно получить ещё 17.

Ответ

 См. рисунок справа.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Козлова Е.Г.
Название Сказки и подсказки
задача
Номер 238

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .