|
|
 |
Условие
На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.
Решение 1
Для произвольной расстановки нескольких красных и чётного числа 2k синих точек подсчитаем знакопеременную сумму
Решение 2
Для знатоков. Пусть сначала точки стоят на прямой. Рассмотрим группу симметрий правильного треугольника. Поставим в соответствие красной точке поворот r на 60°, синей – фиксированную симметрию s, а набору точек – соответствующую композицию преобразований. Условия можно записать в виде соотношений r³ = s², sr² = rs, srs = r², которые выполнены в указанной группе. Итак, эквивалентным наборам точек соответствуют одинаковые элементы группы.
Закручивание в окружность приводит к тому, что одинаковым наборам соответствуют сопряженные элементы группы: xU ≡ Ux. Но элементы s² = e и r² не сопряжены.
Замечания
Подробнее см., например, П.С. Александров. "Введение в теорию групп".
