ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97765
Темы:    [ Доказательство от противного ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.


Решение

Предположим противное. Пусть периметр i-й части равен Pi, а площадь –  Si < 0,01.  Вокруг i-й части можно описать прямоугольник с периметром не больше Pi, а среди прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Следовательно,  Pi > 40Si,   значит,   ∑ Pi > 40 ∑ Si = 40.   С другой стороны,  ∑ Pi  не превосходит удвоенной суммы отрезков плюс периметр исходного квадрата, то есть  36 + 4 = 40.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1980
выпуск
Номер 12
Задача
Номер М658
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1980
Номер 1
вариант
Вариант
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .