ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97766
Тема:    [ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 2
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Найти все целые решения уравнения  yk = x² + x  (k – натуральное число, большее 1).


Решение

yk = x(x + 1).   Если в разложение y на простые множители входит pn, то yk делится на pnk; значит (поскольку x и  x + 1  взаимно просты), ровно одно из чисел x,  x + 1  делится на pnk. Следовательно, |x| и  |x + 1|  являются k-ми степенями. При  k ≠ 1  это возможно, лишь когда одно из чисел равно нулю, а второе – единице. В любом случае  y = 0.


Ответ

(0, 0)  и  (–1, 0).

Замечания

баллы: 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 2
Дата 1980/1981
вариант
Вариант 7-8 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .