ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97767
Темы:    [ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?


Решение

  Докажем, что более трёх почти центров симметрии быть не может. Пусть M состоит из  n > 2  точек. Занумеруем их в порядке возрастания абсцисс:  Ai(xi, yi)  (можно считать, что все абсциссы различны). При выбрасывании A1 точка A2 (с наименьшей абсциссой) может быть симметрична только точке An (с наибольшей абсциссой), то есть почти центр (если он есть) имеет координаты  .  По той же причине при выбрасывании An почти центр может быть только в точке  ,  а при выбрасывании любой другой точки – только в точке  .  Других почти центров быть не может.

  Примеры.

    Множество, состоящее из четырёх вершин квадрата, не имеет почти центров симметрии.
    Множество, состоящее из вершин квадрата и его центра, имеет один почти центр.
    Множество, состоящее из двух различных точек, имеет два почти центра симметрии.
    Множество, состоящее из трёх вершин произвольного треугольника, имеет три почти центра – середины сторон треугольника.


Ответ

0, 1, 2 или 3.

Замечания

баллы: 7

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1981
выпуск
Номер 11
Задача
Номер М713
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 2
Дата 1980/1981
вариант
Вариант 7-8 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .