|
|
 |
Условие
Найти все такие натуральные k, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.
Решение
Любое нечётное число k = 2n + 1 > 3 легко представить в нужном виде: k = n + (n + 1).
Чётное число, кратное 4, (k = 4n) представляется в виде суммы чисел 2n + 1 и 2n – 1. Последнее число больше 1 при k ≥ 8.
Наконец, число k вида 4n + 2 представляется в виде суммы (2n + 3) + (2n – 1). Эти числа взаимно просты, поскольку из разность равна 4, а 4 взаимно просто с любыми нечётными числами. Последнее число больше 1 при k ≥ 10.
Таким образом, мы представили в нужном виде все числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 6. Нетрудно проверить, что ни одно этих чисел в требуемом виде представить нельзя.
Ответ
Все натуральные числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 6.
Замечания
8 баллов
