ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97810
Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Найти все такие натуральные k, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.


Решение

  Любое нечётное число  k = 2n + 1 > 3  легко представить в нужном виде:  k = n + (n + 1).
   Чётное число, кратное 4,  (k = 4n)  представляется в виде суммы чисел  2n + 1  и  2n – 1.  Последнее число больше 1 при  k ≥ 8. 
   Наконец, число k вида  4n + 2  представляется в виде суммы  (2n + 3) + (2n – 1).  Эти числа взаимно просты, поскольку из разность равна 4, а 4 взаимно просто с любыми нечётными числами. Последнее число больше 1 при  k ≥ 10.
   Таким образом, мы представили в нужном виде все числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 6. Нетрудно проверить, что ни одно этих чисел в требуемом виде представить нельзя.


Ответ

Все натуральные числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 6.

Замечания

8 баллов.

Источники и прецеденты использования

задача
олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2006
класс
Класс 11
задача
Номер 4
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1983/1984
Номер 5
вариант
Вариант осенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .