|
|
 |
Условие
a1, a2, a3, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что
aak = 3k для любого k.
Найти а) a100; б) a1983.
Решение
а) Сразу заметим, что последовательность ak строго возрастает. Действительно, предположение ak = ak + 1 = n немедленно приводит к противоречию: an = 3k = 3(k + 1).
Кроме того, a1 > 1 (в противном случае aa1 = a1 = 1 ≠ 3). Отсюда следует, что ak > k для всех k. С другой стороны, a1 < aa1 = 3. Поэтому a1 = 2,
a2 = 3, a3 = 6, a6 = 9, a9 = 18, a18 = 27, a27 = 54, a54 = 81, a81 = 162, a162 = 243. А поскольку 162 – 81 = 243 – 162, то ak = 81 + k для всех k от 81 до 162. В частности, a100 = 181.
б) a162 = 243, a243 = 486, a486 = 729. Поскольку 729 – 486 = 486 – 243, то ak = 243 + k для всех k от 243 до 486. В частности, a418 = 661, а значит, a661 = 1254, a1254 = 1983, a1983 = 3762.
Ответ
а) 181; б) 3762.
Замечания
1. Аналогично можно получить и общую формулу:
2. В 7-8 классах предлагался только п. а) (12 баллов), в 9-10 – только п. б) (8 баллов).
