|
|
 |
Условие
На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой паре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берётся по абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Максимальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите, что максимальная разность будет не больше 10 см.
Решение
Пусть мальчики и девочки построены в пары в порядке убывания роста. Предположим, что в одной из пар, скажем, в k-й, рост мальчика отличается от роста девочки больше чем на 10 см, например, мальчик (обозначим его B) выше девочки (G). Тогда B, а значит, и все первые k мальчиков, выше следующих за G девочек больше чем на 10 см. Таким образом, при первом построении в парах с этими k мальчиками могли стоять только предшествующие G девочки, а их всего k – 1. Противоречие.
Замечания
1. 8 баллов.
2. Ср. с задачей М867 из Задачника "Кванта".
