Задача 97833

Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Кротов С.С.

а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число d, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких d это возможно?
б) Эта же задача для квадрата 21×21.

Решение

  Наибольшее расстояние, на которое может передвинуться солдатик, стоящий в центральной клетке, равно    Покажем, что это и есть максимальное значение d.

  а) Разделим квадрат на четыре квадрата 10×10 и поменяем местами противоположные квадраты (каждая клетка сдвинется на указанное расстояние).

  б) Разделим квадрат так, как показано на на рисунке) (для простоты изображен квадрат 7×7).

  Солдатики x, y, z совершают циклическую перестановку. Фигуры A и B (прямоугольники с удалёнными углами) меняются местами, квадраты C и D также меняются местами.

Ответ

а), б) При  

Замечания

1. Случай произвольного произвольного прямоугольника см. в задаче М866 из Задачника "Кванта".

2. Баллы: 4 + 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1983/1984
Номер	5
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
1
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1983/1984
Номер	5
вариант
Вариант	весенний тур, подготовительный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	5