ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97839
Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Треугольники с углами 60° и 120° ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Биссектрисы BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O.
Докажите, что если  OD = OE,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине A равен 60°.


Решение

В треугольниках ADO и AEO равны две стороны и угол. Поэтому они либо равны, либо  ∠ADO + ∠AEO = 180°.  В первом случае треугольник равнобедренный в силу симметрии картинки относительно прямой AO. Во втором случае  ∠A + ∠DOE = 180°.  Угол DOE между биссектрисами BD и CE равен  90° + ½ ∠A  (см. задачу 55448). Отсюда и находим угол A.

Замечания

1. Обратное утверждение см. в задаче 52393.

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1984/1985
Номер 6
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 1
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1984/1985
Номер 6
вариант
Вариант осенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 1
журнал
Название "Квант"
год
Год 1985
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М901

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .