ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97886
Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Дан выпуклый четырёхугольник и точка M внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки M до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.


Решение

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Без ограничения общности можно считать, что M лежит в треугольнике BOC. Пусть прямая CM пересекает сторону AB в точке Q.

Согласно неравенству треугольника:
 MB + MC ≤ BP + PM + MC = BP + PC ≤ BP + PO + OC = OB + OC,  что меньше суммы диагоналей;
  MA + MD < AQ + QM + MC + CD = AQ + QC + CD < AQ + QB + BC + CD = AB + BC + CD,  то есть меньше периметра четырёхугольника.
Сложив, получим доказываемое неравенство.

Замечания

1. Оба доказанных нами неравенства – частные случаи задачи 57332) б).

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 9
Название Четырехугольник
Тема Четырехугольник (неравенства)
задача
Номер 09.069
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 7
Дата 1985/1986
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .