Задача 97895

Темы:    [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Константинов Н.Н.

Улицы города расположены в трёх направлениях, так что все кварталы – равные между собой равносторонние треугольники. Правила уличного движения таковы, что через перекресток можно проехать либо прямо, либо повернув влево или вправо на 120° в ближайшую улицу. Поворачивать разрешается только на перекрёстках. Две машины выехали друг за другом из одной точки в одном направлении и едут с одинаковой скоростью, придерживаясь этих правил. Может ли случиться, что через некоторое время они на какой-то улице (не на перекрёстке) встретятся?

Решение 1

Раскрасим кварталы-треугольники в шахматном порядке. Нетрудно проверить, что один из цветов всегда находится слева от автомобиля, а другой – справа. Но при встрече это невозможно.

Решение 2

Угол между направлениями движения машин всегда кратен 120°. Но 180° не кратно 120°.

Решение 3

Расставим на перекрёстках числа 1, 2, 3 так, как показано на рис. 1.

Допустим, что машины выезжают в начальный момент времени от перекрёстка 1 к перекрёстку 2. Легко проверить, что в таком случае машины могут двигаться только от перекрёстка 1 к перекрёстку 2, от 2 к 3 и от 3 к 1. Так что двигаться навстречу друг другу они не могут.

Ответ

Не может.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	7
Дата	1985/1986
вариант
Вариант	весенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер	3