ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97903
Темы:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Функция F задана на всей вещественной оси, причём для любого x имеет место равенство:  F(x + 1)F(x) + F(x + 1) + 1 = 0.
Докажите, что функция F не может быть непрерывной.


Решение

  F(x + 1)(F(x) + 1) = –1,  следовательно, F нигде не обращается в нуль. При каждом x либо
     а)  F(x + 1) > 0,  F(x) + 1 < 0,  либо
     б)  F(x + 1) < 0,  F(x) + 1 > 0.
  Если а) выполнено хотя бы для одного x, функция разрывна:  F(x + 1)  и F(x) разного знака.
  Если б) выполнено на всей оси, то везде  –1 < F(x) < 0.  Тогда  |F(x + 1)| < 1,  |F(x) + 1| < 1,  и поэтому произведение этих чисел не равно 1. Противоречие.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 7
Дата 1985/1986
вариант
Вариант весенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .