ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97918
Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Доказательство от противного ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Бона М.

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.


Решение

Менее  ¼·½·28·27 = 94,5  игр были результативными. Вычтем из всех результатов по очку, то есть будем считать, что за выигрыш дается 1 очко, а за проигрыш –  –1. Если команда набрала n очков, то она выиграла (или проиграла, если  n < 0)  не менее |n| матчей. Пусть nk – число очков, набранных k-й командой. Предположим, что все числа nk различны. Тогда число результативных игр не меньше чем
½ ( |n1| + … + |n28| ) ≥ ½ (0 + 1 + ... + 13 + 1 + ... + 14) = 98.  Противоречие.

Замечания

1. Баллы: 7-8 кл. – 6, 9-10 кл. – 5.

2. Ср. с задачей М1047 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 5
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант осенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .