ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97934
Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

p(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых a и b выполняется равенство:  p(a) – p(b) = 1.
Докажите, что a и b различаются на 1.


Решение

Так как все коэффициенты многочлена p – целые числа и  an – bn  при любом натуральном n делится на  a – b,  то  p(a) – p(b)  делится на  a – b.  Тем самым,  ab  – делитель единицы, то есть  |a – b| = 1.

Замечания

1. Можно также воспользоваться теоремой Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562).

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .