ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97935
Темы:    [ Покрытия ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.


Решение

Предположим, что диаметр кругов меньше 1. Тогда круг, закрывший центр исходного круга, не "достанет" до его окружности. Значит, эта окружность покрыта не более чем шестью кругами. Каждый из кругов покрывает некоторую дугу окружности, длина наибольшей из этих дуг не меньше ⅙ длины окружности. Диаметр круга, покрывающего эту дугу, не меньше длины соответствующей хорды, то есть не меньше 1. Противоречие.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .