ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97956
Темы:    [ Симметричная стратегия ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Иванов В.

  а) Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?
  б) Тот же вопрос для 12-угольника.


Решение

   а) Второй игрок может применять симметричную стратегию: каждый раз проводить отрезок, центрально симметричный отрезку, проведённому первым. При этом у него всегда будет ход, следовательно, он проиграть не может.

   б) Здесь симметричную стратегию может применить начинающий: сначала он соединяет противоположные вершины, а далее действует по стратегии, описанной в а).


Ответ

а) Партнёр;  б) начинающий.

Замечания

1. В а) начинающий не мог так действовать: противоположные вершины – разного цвета.
2. В б) вместо центральной симметрии можно воспользоваться осевой (относительно первой проведённой диагонали).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 9
Дата 1987/1988
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .