Задача 97964

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Автор: Фольклор

a, b и c – целые числа. Докажите, что если  a = b + c,  то  a⁴ + b⁴ + c⁴  есть удвоенный квадрат целого числа.

Решение

a² – 2bc = b² + c². Поэтому   a⁴ + b⁴ + c⁴ = a⁴ + (a² – 2bc)² – 2b²c² = 2a⁴ – 4a²bc + 2b²c² = 2(a² – bc)².

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	9
Дата	1987/1988
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	1