Задача 97973
|
|
 |
Условие
P(х) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что числа 1 и 2 являются его корнями. Докажите, что найдётся коэффициент, который меньше –1.
Решение
Пусть P(x) = anxn + ... + a1x + a0. Тогда 0 = an + ... + a1 + a0, 0 = 2nan + ... + 2a1 + a0.
Перенесём в этих равенствах все члены с отрицательными коэффициентами в левую часть. Если все ai ≥ –1, получаем противоречие с замечанием к задаче 97967: |ai| – количества гирь веса 2i на соответствующей чашке, на левой чашке все гири разные, их столько же, сколько и на правой, однако наборы гирь даже не пересекаются.
Замечания
5 баллов
