ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97986
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Арифметические действия. Числовые тождества ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на M?


Решение

Рассмотрим  M = 9...9  (221 девятка). При делении числа вида 10...0 на M получим в остатке 10...0, в котором число нулей не больше 220. При делении на M числа с 1988 (или меньшим) числом единиц, получим сумму не более 1988 степеней десятки. Если какая-то степень 10n встретилась больше 10 раз, заменим десять таких остатков на 10n+1 (а 10 остатков 10200 – на 1). После совершения всех таких замен получим в качестве остатка 221-значное число с суммой цифр, не большей 1988. Это число меньше M, поскольку сумма цифр M равна  9·221 = 1989.


Ответ

Существует.

Замечания

Баллы: 7-8 кл. – 8, 9-10 кл. – 7.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1988/1989
Номер 10
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер 5
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1988/1989
Номер 10
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .