ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97992
Темы:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что  a²pq + b²qr + c²rp ≤ 0,  если a, b, c – стороны треугольника; а p, q, r – любые числа, удовлетворяющие условию  p + q + r = 0.


Решение 1

Заменяя при необходимости числа p, q, r на противоположные, мы можем свести дело к случаю, когда два из чисел p, q, r, например, p и q, неположительны, а третье (r) неотрицательно. По неравенству треугольника,  c² ≥ (a – b)²,  следовательно,
a²pq + b²qr + c²rpa²pq + b²qr + (abrp = a²p(q + r) + b²r(q + p) – 2abrp = – (ap)² – (br)² – 2abrp = – (ap + br)² ≤ 0.


Решение 2

a²pq + b²qr + c²rp = a²pqb²q(p + q) – c²p(p + q) = (a² – b² – a²)pqb²q² – c²p² = – (b²q² – c²p² – 2bcpq cos α) = – d²,  где α – соответствующий угол в треугольнике со сторонами a, b, c, а d – длина третьей стороны в треугольнике, построенном по двум сторонам  |bq|, |cp|  и углу между ними, равному α или  π – α,  в зависимости от знаков p и q.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1989
выпуск
Номер 6
Задача
Номер М1166
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1988/1989
Номер 10
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .