|
|
 |
Условие
На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.)
Решение
Пусть первый каждый раз ходит на поле, центрально симметричное тому, на котором стоит фишка. Первым ходом он, очевидно, может это сделать. Докажем по индукции, что он может это делать всегда, а после каждого хода второго расстояние от фишки до центра O доски увеличивается.
Шаг индукции. Пусть после какого-то хода первого фишка попала в точку K и OK = r. Значит, ранее все точки (центры полей), посещенные фишкой, лежали в круге радиуса r с центром O, а этим ходом первый переместил фишку на расстояние 2r. Второй (если он смог сделать ход) переместил фишку в некоторую точку M, причём KM = 2R > 2r. Следовательно, OM > KM – OK = 2R – r > R > r. Поэтому на симметричной точке M' фишка ещё не была, и первый может переместить фишку туда. При этом он передвинет её на расстояние 2OM > 2R.
Игра закончится, так как число возможных значений расстояния от фишки до центра доски конечно. Поскольку первый всегда может сделать ход, то проиграет второй.
Замечания
3 балла
