ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98003
Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Параллелограммы (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
    1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
    2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
  а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
  б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.


Решение

  Будем считать, что P лежит на AB, Q – на BC, R – на CD и S – на DA. Ясно, что каждый угол картонного четырёхугольника равен половине развёрнутого угла, то есть это – прямоугольник.

  а) Пусть все четыре вершины A, B, C, D после перегибания попадут в одну точку O. Тогда  AP = OP = BP,  то есть P – середина стороны AB. Аналогично Q – середина BC, то есть PQ – средняя линия треугольника ABC. Значит,  AC || PQ.  Аналогично  BD || QR,  а  PQQR.  Итак, в этом случае диагонали бумажного четырёхугольника перпендикулярны.
  Предположим, что A и B после перегибания попадут в разные точки E и F, причём E лежит на отрезке PF. При этом угол SEF должен быть покрыт при отражении треугольника SDR, так что при сгибании D попадёт в точку E. Следовательно, E и F лежат на диагонали PR и
BPR = 2∠QPR = 2∠PRS = ∠PRD,  то есть  AB || CD.

  б) Пусть угол A – острый и AB ≤ BC. В качестве точек P и R возьмём середины сторон AB и CD. На отрезке PR как на диаметре построим окружность, Q – точка её пересечения со стороной BC (если таких точек две, возьмём ближайшую к точке C), а S – диаметрально противоположная точка. Мы получили прямоугольник PQRS, вписанный в параллелограмм ABCD (см. рисунок). Докажем, что он – подходящий.

  ∠PSQ = ∠RPS = ∠PSA.  Отложим на SQ отрезок  SE = SA.  Треугольники PAS и PES равны по первому признаку, поэтому при сгибании треугольник PAS накроет треугольник PES.  PB = PA = PE,  ∠EPQ = 90° – ∠EPS = 90° – ∠APS = ∠BPQ,  поэтому треугольник PBQ накроет PEQ. Аналогично треугольники QCR и RDS вместе накроют треугольник QRS.

Замечания

1. В варианте для москвичей давался только п. а).

2. Баллы: 2 + 3.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1989
выпуск
Номер 10
Задача
Номер М1186
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1988/1989
Номер 10
вариант
Вариант весенний тур, вариант для москвичей, 7-8 класс
Задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1988/1989
Номер 10
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .