ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98004
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если K чётно, то числа от 1 до  K – 1  можно выписать в таком порядке, что сумма никаких нескольких подряд стоящих чисел не будет делиться на K.


Решение

Числа можно расставить в таком порядке:  K – 1,  2,  K – 3,  4,  K – 5,  6, ..., 3,  K – 2,  1  (на нечётных местах стоят нечётные числа в порядке убывания, на чётных местах – чётные в порядке возрастания). Выпишем остатки от деления на  K = 2L  суммы первых n чисел  (n = 1, 2, ..., K – 1)  указанной последовательности:  K – 1,  1,  K – 2,  2,  K – 3,  3, ...,  L + 1,  L – 1,  L.  Таким образом, среди этих остатков rn встречаются по разу все числа от 1 до
K – 1.  Поскольку  rm ≠ rn  при  m < n,  сумма членов нашей последовательности с номерами от  m + 1  до n не делится на K.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1989
выпуск
Номер 10
Задача
Номер М1187
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1988/1989
Номер 10
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .