Задача 98005

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Метод усреднения ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Произволов В.В.

Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Решение

  Пусть  α = ^360°/_N.  Среднее значение угла между фиксированным красным вектором и всеми остальными векторами равно
¹/_N–1 (α + 2α + ... + (N –1)α) = ^Nα/₂ = 180°.  Значит, среднее значение угла "красный вектор – любой вектор" тоже равно 180°.
  Сумма двух углов между двумя фиксированными красными векторами равна 360°. Поэтому среднее значение угла между ними равно 180°. Значит, среднее значение угла "красный вектор – красный вектор" тоже равно 180°.
  Следовательно, и среднее значение угла "красный вектор – синий вектор" равно 180°.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1988/1989
Номер	10
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	5