ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98031
Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток.
Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.


Решение 1

Предположим, что это не так, то есть не существует пары друзей, которые послали открытки друг другу. Каждый из друзей послал открытки пятерым, следовательно, он мог получить не более четырёх открыток. Значит, количество полученных открыток не больше чем 40, в то время как отправлено было  5·10 = 50  открыток. Противоречие.


Решение 2

Количество пар друзей равно  10·9 : 2 = 45.  Так как всего было послано 50 открыток, то на какую-то из пар приходится хотя бы две посланные открытки, то есть в этой паре друзья послали открытки друг другу.

Замечания

1. Из решения 2 следует, что пар друзей, пославших открытки друг другу, не менее пяти.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1989/1990
Номер 11
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2010/11
Класс
1
Класс 7
задача
Номер 7.3.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .