ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98052
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что
   а) если натуральное число n можно представить в виде  n = 4k + 1,  то существуют n нечётных натуральных чисел, сумма которых равна их произведению;
   б) если n нельзя представить в таком виде, то таких n нечётных натуральных чисел не существует.


Решение

  а) Пусть  n = 4k + 1.  Возьмём  n – 2  единицы и ещё два числа – 3 и  2k + 1.  И сумма и произведение этих чисел равны  6k + 3.

  б) Пусть произведение некоторых n нечётных натуральных чисел равно их сумме. Пусть у r рассматриваемых чисел остаток от деления на 4 равен 1,
а у s чисел –  –1. Представим число s в виде  s = 2t + a,  где  a = 0  или 1. Тогда остаток от деления произведения наших чисел на 4 равен  1 – 2a,  а остаток от деления их суммы на 4 сравним с  r – s  по модулю 4. Итак,  r + s = n,  а  r – s ≡ 1 – 2a (mod 4).  Значит,  2a ≡ (r + s) – (r – s) ≡ n – 1 + 2a (mod 4),  то есть
n ≡ 1 (mod 4).

Замечания

баллы: 3 + 4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1989/1990
Номер 11
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .