ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98115)
Темы:    [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По окружности записаны 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна 1. Найти эти числа.


Решение

Поскольку каждое из выписанных чисел равно модулю какого-то числа, то все они должны быть неотрицательны. Пусть наибольшее из них равно M. Два следующих за ним числа должны быть не больше M и различаться на M. Это возможно лишь в случае, когда одно из них равно M, а другое – нулю. Итак, в каком-то месте должны стоять либо числа M, M, 0, либо числа M, 0, M. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы однозначно восстановим остальные числа. В обоих случаях получается один и тот же набор – M, M, 0, ..., M, M, 0. Из условия, что сумма всех чисел равна 1, находим  M = 1/20.


Ответ

1/20, 1/20, 0, 1/20, 1/20, 0, ..., 1/20, 1/20, 0.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1991/1992
Номер 13
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .