ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98127
Тема:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шлейфер Р.

n чисел  (n > 1)  называются близкими, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  n – 1.  Пусть  a, b, c, ...   – n близких чисел, S – их сумма. Докажите, что
  а) все они положительны;
  б)  a + b > c;
  в)  a + b > S/n–1.


Решение

 Положим  s = S/n–1.

  а)  a = S – (b + с + ...) > S – (n – 1)s = 0.

  в)  a + b = S – (с + ...) > S – (n – 2)s = s.

  б) Согласно в)  a + b ≥ s > с.

Замечания

Баллы: 2 + 2 + 2

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1992
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М1352
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1991/1992
Номер 13
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .