ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98128
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Паровян А.

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты,  AC > AB.  На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что  AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE будет прямоугольным в том и только в том случае, если стороны треугольника ABC относятся как  3 : 4 : 5.


Решение

  Заметим, что точка D симметрична A относительно биссектрисы BF угла B.
  Пусть  AB = 6,  AC = 8,  BC = 10.  Биссектриса BF делит AC в отношении  3 : 5,  значит,  AF = 3.  Следовательно,  AF = FE = FD,  и D лежит на окружности радиуса 3 с диаметром AE.

  Пусть угол ADE – прямой,  AB = 6a,  CE = x.  Тогда  DE || BF  (обе прямые перпендикулярны AD), то есть BF содержит среднюю линию треугольника ADE. Поэтому  AF = FE.  Кроме того,  CD : CE = DB : EF = 2,  значит,  CD = 2x.  Окружность радиуса FA = 3a с центром в F касается BC, следовательно,
CE∙CA = CD²,  то есть  x(x + 6a) = 4x².  Отсюда  x = 2a,  и  AC : AB = 8a : 6a = 4 : 3.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1992
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М1351
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1991/1992
Номер 13
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .