ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98150
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD  AB = BC = CD = 1,  AD не равно 1. Положение точек B и C фиксировано, точки же A и D подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков AB, CD и AD. Новое положение точки A получается из старого зеркальным отражением в отрезке BD, новое положение точки D получается из старого зеркальным отражением в отрезке AC (где A уже новое), затем на втором шагу опять A отражается относительно BD (D уже новое), затем снова преобразуется D, затем аналогично проводится третий шаг, и так далее. Докажите, что на каком-то шагу положение точек совпадает с первоначальным.


Решение

  Ломаная ABCD определяется заданием двух углов:  ∠BCA = β  и  ∠CDB = γ;  при этом, если обозначить через X и Y точки на продолжениях отрезка BC, то (поскольку треугольники ABC и BCD равнобедренные, см. рисунок)  ∠XBA = 2β,  a  ∠YCD = 2γ.  Углы будем считать направленными, скажем, против часовой стрелки.

  При отражении точки A угол XBA, равный 2β, заменяется на угол XBA', равный  γ – (2β – γ) = 2(γ – β),  (A' – это новое положение точки A), а угол γ при точке C не меняется. Таким образом, пара углов, задающая нашу ломаную, преобразуется так:  (β, γ)  →  (γ – β, γ).  Следующее преобразование будет точно таким же, только "первый" и "второй" меняются ролями. Продолжая чередовать такие операции, получим
(β, γ)  →  (γ – β, γ)  →  (γ – β, – β)  →  (– γ, – β)  →  (– γ, β – γ)  →  (β, β – γ)  →  (β, γ)   – мы вернулись на место через 6 шагов!

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1992/1993
Номер 14
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4
журнал
Название "Квант"
год
Год 1993
выпуск
Номер 09.окт
Задача
Номер М1392

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .