ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98151
Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема синусов ]
[ Аналитический метод в геометрии ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан угол с вершиной O и внутри него точка A. Рассмотрим такие точки M, N на разных сторонах данного угла, что углы MAO и OAN равны.
Докажите, что все прямые MN проходят через одну точку (или параллельны).


Решение

  Если точка A лежит на биссектрисе данного угла, то все прямые перпендикулярны к OA. В противном случае перпендикуляр к OA, восстановленный из A, пересекает MN в точке R. Пусть он также пересекает стороны угла в точках P и Q (M, N лежат на лучах OP, OQ соответственно).

  Первый способ.  

  Применив теорему Менелая (см. задачу 53857) к треугольнику OPQ и прямой MN, получим     Отсюда     следовательно, точка R для всех прямых MN одна и та же.

  Второй способ. Рассмотрим случай, когда  ∠MOA < ∠NOA.  Пусть точки N' и Q' симметричны N и Q относительно прямой OA, а прямая NN' пересекает OM в точке T. Тогда M – точка пересечения диагоналей трапеции ARN'N. Следовательно,  PA : PR = TN' : TN = PQ' : PQ,  т.е. точка R для всех прямых MN одна и та же.

Замечания

1. Вместо отношения площадей можно применить теорему синусов.

2. Задачу можно решить чисто аналитически. Поместив начало координат в точку A и совместив ось абсцисс с прямой OA, нетрудно выписать уравнения всех участвующих в условии прямых и убедиться в том, что все прямые MN пересекают ось ординат в одной точке.

3. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1992/1993
Номер 14
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .