Задача 98165

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

a, b, c – натуральные числа,  НОД(a, b, c) = 1  и     Докажите, что  a – b  – точный квадрат.

Решение 1

  Пусть p – простой делитель числа  a – b.  Тогда p является делителем a или b, так как  c – b  – натуральное число. Но  a = b + (a – b),  поэтому p делит и a и b. Значит, c не делится на p.
  Пусть в разложение числа a на простые множители p входит в степени k, а в разложение b – в степени l (k, l – натуральные числа). Если,  k > l,  то разложение
a – b  содержит p^l, а разложение c –  p^k+l–l = p^k.  Противоречие.
  Случай k < l рассматривается аналогично. Следовательно,  k = l  и p входит в разложение  a – b  в той же степени, что и в  ab,  то есть в степени 2k.
  Итак, каждый простой делитель числа  a – b  входит в разложение  a – b  на простые множители в чётной степени, откуда и следует, что  a – b  – точный квадрат  (a – b > 0,  так как  c > 0).

Решение 2

  Пусть  НОД(a, b) = d,  a = dx,  b = dy.  Поскольку  ab = ac – bc,  то dxy = cx – cy.  Значит, cy делится на x. Так как x и y взаимно просты, c делится на x. Аналогично c делится на y.
  Следовательно, c делится на xy, т.е.  c = xyk.  По условию d и c взаимно просты, тем более d и k взаимно просты. Но  d = k(x – y),  значит,  k = 1,
a – b = dx – dy = d².

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1992/1993
Номер	14
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3