ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98174
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Перлин А.

Найти все такие числа вида 2n (n натурально), что при вычёркивании первой цифры их десятичной записи снова получится степень двойки.


Решение

Отношение двух степеней двоек из условия меньше 100. С другой стороны, их разность имеет вид  2m(2n − 1).  Значит,  n ≤ 6.  Эта разность делится на 10, поэтому  2n − 1  кратно 5. Отсюда  n = 4,  2n − 1 = 15.  По условию,  15·2m = a·10k,  где  a ≤ 9.  Ясно, что  k = 1,  тогда  3·2m–1 ≤ 9.  Итак,  m = 1 или 2.


Ответ

32, 64.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1992/1993
Номер 14
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .