|
|
 |
Условие
Рассматривается последовательность, n-й член которой есть первая цифра числа 2n.
Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.
Решение
Первая цифра числа 2n определяется числом an = {n lg 2}, а именно: если an ∈ [0, lg 2), то первая цифра числа 2n равна 1, если an ∈ [lg 2, lg 3), то она равна 2, ..., если an ∈ [lg 9, 1) – то 9.
Итак, последовательность первых цифр степеней двойки длины 13 определяется взаимным расположением чисел an, ..., an+12 и 0, lg2, ..., lg 9.
Пусть α изменяется от 0 до 1 (α ∈ [0, 1) ). Рассмотрим числа α, {α + lg 2}, {α + 2 lg 2}, ..., {α + 12 lg 2}. (*)
Расположение этих тринадцати чисел среди 0, lg 2, lg 3, ..., lg 9 (**) определяет последовательность первых цифр чисел N, 2N, 2², ..., 212N, (***) где {lg N} = α. При α = 0 мы получаем одну из возможных последовательностей первых цифр чисел (***). Увеличивая α, мы придём к другой последовательности (***) тогда, когда хотя бы одно из чисел (*) совпадёт с каким-то из чисел (**).
Вычислим количество таких моментов совпадений. Для этого сначала подсчитаем число совпадений (в один момент могут произойти несколько совпадений). Поскольку каждое из чисел (*) при некотором α совпадёт с каждым из чисел (**), количество совпадений равно 13 · 9 = 117. Это может происходить одновременно лишь при совпадении каких-то чисел (*) с числами (**), дробные части которых отличаются на lg 2: это пары 0 и lg 2, lg 2 и lg 4, lg 3 и lg 6, lg 4 и lg 8, lg 5 и 0. Всякий раз, когда {α + i lg 2}, 1 ≤ i ≤ 12 совпадает со вторым числом одной из этих пар, это совпадение учитывать не нужно, так как он учтён при совпадении {α + (i – 1) lg 2} с первым числом той же пары. Следовательно, число моментов совпадений равно
117 – 12·5 = 57.
Поскольку степень двойки может начинаться с любой заданной комбинации цифр (см. задачу 77898), то для степеней двойки реализуются все 57 найденных вариантов.
Замечания
1. Подробности можно найти, например, в §2 книги Г.А. Гальперина и А.Н. Землякова «Математические бильярды».
2. 7 баллов.
