|
|
 |
Условие
На координатной плоскости отмечены некоторые точки с целыми координатами. Известно, что никакие четыре из них не лежат на одной окружности. Докажите, что найдётся круг радиуса 1995, в котором не отмечено ни одной точки.
Решение
Допустим, что такого круга нет, то есть внутри каждого круга радиуса 1995 найдётся отмеченная точка. Рассмотрим бесконечную горизонтальную полосу ширины 4000. Разобьём её на квадраты 4000×4000. Рассмотрим 4001 такой квадрат подряд, образуемый ими прямоугольник обозначим через П. В каждом квадрате найдётся отмеченная точка (так как в такой квадрат можно поместить круг радиуса 1995). Расстояния до этих точек от нижнего края полосы не могут быть все различны, так как расстояний – 4000, а точек – 4001. Итак, найдутся две отмеченные точки на одинаковой высоте. Абсциссы этих двух точек – какие-то два целых числа из некоторого отрезка, поэтому существует ограниченное число возможностей для их значений.
Рассмотрим теперь достаточно много таких горизонтальных полос, не пересекающих друг друга. В каждой из них в прямоугольнике, находящимся над П, существует пара отмеченных точек на одной высоте. Найдутся две пары, у точек которых абсциссы одной пары совпадают с соответствующими абсциссами другой пары. Четыре построенные точки суть вершины прямоугольника, то есть лежат на одной окружности. Противоречие.
Замечания
6 баллов
