ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98295
Тема:    [ Симметричная стратегия ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Двое играют в крестики-нолики на доске 10×10 по следующим правилам. Сначала они заполняют крестиками и ноликами всю доску, ставя их по очереди (начинающий игру ставит крестики, его партнер – нолики). Затем подсчитываются два числа: K – число пятерок подряд стоящих крестиков и H – число пятерок подряд стоящих ноликов. (Считаются пятерки, стоящие по горизонтали, по вертикали и параллельно диагонали; если подряд стоят шесть крестиков, то это даёт две пятерки, если семь, то три и т. д.) Число  K – H  считается выигрышем первого игрока (проигрышем второго).
  а) Существует ли у первого игрока беспроигрышная стратегия?
  б) Существует ли у него выигрышная стратегия?


Решение

  б) У второго игрока есть беспроигрышная стратегия. Она состоит в том, что на каждый ход первого нужно ставить нолик в клетку, симметричную относительно центра доски клетке, в которую только что был поставлен крестик. Тогда к концу игры количество пятёрок подряд стоящих крестиков будет в точности равно количеству пятёрок подряд стоящих ноликов.

  а) Вот беспроигрышная стратегия первого игрока. Первый ход произвольный. Далее, если второй игрок ходит симметрично (ставит нолик в клетку, симметричную клетке, в которую только что поставлен крестик), то первый игрок снова ставит крестик в произвольную клетку. Если второй игрок ходит не симметрично (обозначим клетку, симметричную последнему поставленному крестику, через A), первый игрок перехватывает "симметричную" стратегию и ставит крестики в клетки, симметричные тем, в которые второй ставит нолики, до тех пор, пока второй не поставит нолик в клетку A.


Ответ

а) Существует;  б) не существует.

Замечания

Баллы: 3 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1995/1996
Номер 17
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .