ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98299
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
Сложность: 3
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать еще 6 цифр так, чтобы полученное 12-значное число было полным квадратом?
б) Тот же вопрос про число, начинающееся с 1.
в) Найдите для каждого n такое наименьшее  k = k(n),  что к каждому n-значному числу можно приписать еще k цифр так, чтобы полученное (n+k)-значное число было полным квадратом.


Решение

  а) Возьмём произвольное число, оканчивающееся нулями, квадрат которого – 12-значное число, начинающееся с 5, например  A = 750000
(A² = 5625·108).  Поскольку  (A – 1)² = A² – 2A + 1,  предшествующий A² квадрат равен  562500000000 – 2·750000 + 1 = 562498500001.  Значит, 12-значного квадрата, начинающегося цифрами 562499, не существует.

  б) Пусть A² – 12-значное число, начинающееся с 1, то есть  1011A² < 2·1011.  Соседние квадраты отличаются от A² на  2A – 1  и  2A + 1,  а     Поэтому разница между соседними квадратами меньше миллиона, так что в ряду последовательных квадратов между 1011 и 2·1011 встретятся числа, начинающиеся с каждого набора из шести цифр.

  в) К любым n цифрам можно приписать еще  n + 1  цифру так, что полученное число из  2n + 1  цифры будет полным квадратом. Действительно, на участке от 102n до 102n+1 разница между соседними квадратами не превосходит  

  Докажем, что  k(n) ≥ n + 1.  Рассмотрим квадрат, предшествующий 102n:     Таким образом, к числу     нельзя приписать n цифр так, чтобы получился квадрат. Ясно также, что к нему нельзя приписать  n – 2,  n – 4,  ... цифры: соответствующее число слишком близко к (10n–1)², (10n–2)², ... Поэтому  k(n) ≠ n  (а также  n – 2,  n – 4,  ...).
  Рассмотрим ещё квадрат, предшествующий  (2·10n–1)2:     Таким образом, к числу     нельзя приписать  n – 1  (а также  n – 3,  n – 5,  ...) цифр, чтобы получился квадрат, поэтому  k(n) ≠ n – 1  (n – 3,  n – 5,  ...).


Ответ

а) Не к любому;  б) к любому;  в)  k(n) = n + 1.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1996
выпуск
Номер 2
Задача
Номер М1542

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .