ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98323
Темы:    [ Куб ]
[ Метод координат в пространстве (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудаленных от трёх скрещивающихся рёбер  a, b, c  этого куба.


Решение

Расположим систему координат так, чтобы вершины куба ABCDA'B'C'D' имели координаты:  A(0, 0, 0),  B(1, 0, 0),  D(0, 1, 0),  A'(0, 0, 1).
Расстояние от точки  M(x, y, z)  до ребра  a = BB'  равно расстоянию от её проекции  M'(x, y) на плоскость xOy до точки  B(1, 0),  то есть равно   .   Аналогично квадраты расстояний от M до рёбер  b = CD  и  c = A'D'  равны, соответственно,  (1 – y)2 + z2,  (1 – z)2 + x2.  При  x = y = z  точка M, очевидно, равноудалена от  a, b, c.  Докажем, что больше таких точек нет. Пусть не все координаты точки M равны между собой, и x – наименьшая из них, а z – наибольшая (остальные случаи разбираются точно так же). Тогда  x < z,  1 – z ≤ 1 – y   ⇔   (1 – z)2 + x2 < (1 – y)2 + z2,  и  M не равноудалена от рёбер b и c.  Итак, искомое ГМТ – множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению  x = y = z.  Это диагональ AC' куба.


Ответ

Большая диагональ куба, не имеющая общих точек с рёбрами  a, b, c.

Замечания

1. Рёбра  BB', CD и A'D  переходят друг в друга при повороте куба вокруг диагонали AC' на 120°. Отсюда сразу видно, что все точки диагонали AC' равноудалены от этих рёбер. К сожалению, эта красивая идея не дает возможности доказать, что искомое геометрическое место не содержит точек вне этой диагонали.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .