ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98325
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Построения (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На координатной плоскости xOy построена парабола  y = x².  Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?


Решение

  Докажем следующую лемму.

  Лемма. Пусть M и N – середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы (рис. 1).

  Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых  y = kx + a  и  y = kx + b,  тогда абсциссы точек  A, B, C, D  – это корни уравнений  x² = kx + a  и  x² = kx + b,  а абсциссы точек M и N – полусуммы корней этих уравнений, то есть по теореме Виета равны k/2.  Следовательно, прямая MN параллельна оси Oy.

  Вернёмся к решению задачи. Проводим последовательно две параллельные хорды параболы; прямую, проходящую через их середины (параллельную Oy); перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках; серединный перпендикуляр к полученной хорде. Этот перпендикуляр и будет осью Oy, а ось Ox – это перпендикуляр к Oy в точке пересечения с параболой.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .