Задача 98329

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Средняя линия трапеции ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Авторы: Лопшиц А.Л., Васильев Н.Б.

Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Решение

Опустим из точек C, C', D перпендикуляры CK, C'L, DM на AB. Заметим, что  C'L = ½ (CK + DM)  как средняя линия трапеции KCDM. Рассматривая треугольники ABC, ABC', ABD с общим основанием AB и высотами соответственно CK, C'L, DM, получим отсюда соотношение  2S_ABC' = S_ABC + S_ABD.  Напишем аналогичные соотношения для всех указанных в условии треугольников и сложим их:
  2·(S_ABC' + S_BCD' + S_CDE' + S_DEF' + S_EFA' + S_FAB') = S_ABC + S_ABD + S_BCD + S_BCE + S_CDE + S_CDF + S_DEF + S_DEA + S_EFA + S_EFB + S_FAB + S_FAC =
= (S_ABC + S_FAC + S_CDF + S_DEF) + (S_BCD + S_ABD + S_DEA + S_EFA) + (S_CDE + S_BCE + S_EFB + S_FAB) = 3S_ABCDEF   (треугольники в каждой скобке полностью покрывают шестиугольник).

Ответ

⅔ суммы площадей указанных треугольников.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1997
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М1579
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3