|
|
 |
Условие
В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.
Решение 1
Соединим вершину A с серединой K стороны BC (рис. слева). AKCE – параллелограмм (стороны AE и KC равны и параллельны). Отсюда AK || CE, поэтому AK ⊥ BF и LK – средняя линия треугольника BCF (L – точка пересечения AK и BF). Таким образом, AL является как высотой, так и медианой треугольника BAF. Значит, этот треугольник равнобедренный.
Решение 2
Пусть прямые CE и AB пересекаются в точке G (рис. справа). Треугольники AEG и DEC равны по стороне (AE = DE) и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AB = AG и FA – медиана прямоугольного треугольника BFG. Как известно, медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы, то есть FA = AB.
Замечания
баллы: 18-й турнир – 4, 22-й турнир – 3
