ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98342
Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что число
  а)  9797,
  б)  199717
нельзя представить в виде суммы кубов нескольких идущих подряд натуральных чисел.


Решение

  а) Куб числа, кратного 3, делится на 9. Если же число не делится на 3, то его можно записать в виде  n = 3k ± 1.  Тогда  n³ = 9(3k³ ± 3k² + k) ± 1,  то есть даёт остаток ±1 при делении на 9 (мы рассматриваем остаток –1 вместо остатка 8). Поэтому остатки при делении на 9 кубов последовательных натуральных чисел образуют последовательность  1, –1, 0, 1, –1, 0, ...  Отсюда сразу видно, что сумма любых трёх последовательных кубов делится на 9 и вообще сумма любого количества последовательных кубов может давать только остатки 0 и ±1 при делении на 9.
    9797 ≡ (–2)97 ≡ (–2)6·16+1 ≡ –2 (mod 9),  так как  26 = 64 ≡ 1 (mod 9).  Следовательно, 9797 при делении на 9 даёт остаток –2, то есть не может быть суммой последовательных кубов.

  б) Будем рассматривать остатки при делении кубов на 7. Снова воспользуемся отрицательными остатками (–3, –2, –1 вместо, соответственно, 4, 5, 6). Имеем:  (±1)³ = ±1,  (±2)³ = ±8,  (±3)³ = ±27.  Поэтому последовательность остатков при делении кубов натуральных чисел на 7 выглядит так:  1, 1, –1, 1, –1, –1, 0, 1, ...  Отсюда видно, что сумма последовательных кубов может давать при делении на 7 только остатки 0, ±1 и ±2.
    199717 ≡ 217 ≡ 23·5+2 ≡ 4 (mod 7),  так как 2³ ≡ 1 (mod 7).  Следовательно, 199717 при делении на 7 даёт остаток 4 и не может быть суммой последовательных кубов.

Замечания

1. Баллы: 4 + 4.

2. Ср. с задачей М1592 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .