ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98412
Темы:    [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

n бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри всей области плоскости, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр.


Решение

Пусть P – точка, через которую проходят границы всех кругов. Соединим P с двумя соседними “вершинами” криволинейного многоугольника. Его “сторона” представляет собой дугу единичной окружности, поэтому её длина равна (выраженной в радианах) величине центрального угла, опирающегося на эту дугу, то есть в два раза больше величины вписанного угла APB. Таким образом, периметр многоугольника в два раза больше суммы углов, под которыми его стороны видны из точки P. Эти углы вместе составляют полный угол, величина которого равна 2π.


Ответ

4π.

Замечания

1. 3 балла

2. В формулировке, предложенной на Турнире Ломоносова, число n было заменено на 8.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 1998
Название конкурс по математике
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .