ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98414
Тема:    [ Неравенство Коши ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассматриваются такие наборы действительных чисел  {x1, x2, x3, ..., x20},  заключённых между 0 и 1, что  x1x2x3...x20 = (1 – x1)(1 – x2)(1 – x3)...(1 – x20).  Найдите среди этих наборов такой, для которого значение x1x2x3...x20 максимально.


Решение

Значение произведения x1x2...x20 максимально тогда же, когда максимально значение выражения   (x1x2...x20)² = x1x2...x20(1 – x1)(1 – x2)...(1 – x20).  Последнее произведение разбивается на множители вида  xk(1 – xk),  каждый из которых (например, согласно неравенству Коши) максимален при  xk = ½.


Ответ

(½, ½, ..., ½).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .