ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98418
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:
a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3.
Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов:   a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3 = a1a2a3 + b1b2b3 + c1c2c3.


Решение 1

  Первый способ. Рассмотрим верное равенство

(a1 + b1 + c1)³ + (a2 + b2 + c2)³ + (a3 + b3 + c3)³ = (a1 + a2 + a3)³ + (b1 + b2 + b3)³ + (c1 + c2 + c3)³.     (*)
  И в левой части этого равенства, и в правой встречаются кубы всех девяти чисел a1, ..., c3. Коэффициенты при     в левой и правой частях равны соответственно  3(b1 + c1)  и  3(a2 + a3).  Эти числа равны, поскольку  a1 + a2 + a3 = a1 + b1 + c1.  Аналогично равны коэффициенты при     Значит, из равенства (*) следует равенство  6a1b1c1 + 6a2b2c2 + 6a3b3c3 = 6a1a2a3 + 6b1b2b3 + 6c1c2c3.

  Второй способ. Пусть  S = a1 + a2 + a3.  Заметим, что

 
Складывая аналогичные тождества, получим, что каждое из выражений  6(a1a2a3 + b1b2b3 + c1c2c3)  и  6(a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3)  равно


Решение 2

  Доказываемое соотношение можно записать в виде равенства нулю определителя:     Но он не изменится, если из первой и второй строки вычесть третью:  
  В полученном определителе все числа в первой строке равны. Например,
a1c2 = c3b1   ⇔   a1 + b1 = c2 + c3   ⇔   a1 + b1 + c1 = c1 + c2 + c3.   Аналогично проверяется равенство всех чисел во второй строке. Таким образом, в этом определителе две первые строки пропорциональны. Следовательно, он равен нулю.

Замечания

1. Задачу можно решить простым (но весьма трудоемким) способом: выразить все величины через a1, a2, a3, b1 и b2; подставить полученные выражения в левую и правую части и убедиться, что получится одно и то же.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .