ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98421
Темы:    [ Замена переменных ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Разрывы функций ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана функция    ,   где трёхчлены  x² + ax + b  и  x² + cx + d  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
  2)  f(x) представима в виде:  f(x) = f1(f2(...fn–1(fn(x))...)),  где каждая из функций  fi(x) есть функция одного из видов:   kix + bi, x–1, x².


Решение

  Договоримся называть функцию, удовлетворяющую условию 1, дырявой, а условию 2 – представимой.
  Мы будем рассматривать функции, определённые на всей числовой прямой, за исключением, быть может, конечного числа точек. Равенство функций мы будем понимать так, как это подразумевается в условии задачи, то есть равенство на общей области определения. Отметим, что замена функции на равную ей (в этом смысле) может изменить область значений только на конечное число точек, в частности, не может сделать дырявую функцию не дырявой, и наоборот.
  Заметим, что данная нам функция не является дробно-линейной, так как равенство     означало бы, что числитель и знаменатель левой части имеют общий множитель, после сокращения на который получается правая часть.

  Лемма. Пусть h(x) – дробно-линейная функция, g(x) – произвольная функция.
  а) Функции  g(x), g(h(x))  и  h(g(x))  либо все представимы, либо все не представимы.
  б) Функции  g(x), g(h(x))  и  h(g(x))  либо все дырявы, либо все не дырявы.
  Доказательство. а) Очевидно, поскольку функция, обратная к дробно-линейной, является дробно-линейной.
  б) Пусть g(x) не принимает значений в интервале I. Тогда  g(h(x))  тем более не принимает значений в этом интервале. С другой стороны, в интервале I найдётся интервал J, целиком входящий в область определения функции h(x). В силу монотонности h(J) – тоже интервал, и функция  h(g(x))  не принимает на нём значений в силу взаимной однозначности. Остальное следует из равенств  g(x) = g(h(h–1(x))) = h–1(h(g(x)))  и свойств дробно-рациональной функции.

  Итак, композиция с дробно-линейной функцией сохраняет дырявость и представимость. Это позволяет нам доказывать нужное свойство не для исходной функции, а для функции, упрощенной композициями с дробно-линейными функциями.

  1) Докажем, что представимая функция дырява. Пусть функция     представима в указанном в условии виде
f1(f2(...fn–1(fn(x))...))  и k – наименьший номер, при котором  fk(x) = x²  (такая есть, иначе функция  f(x) была бы дробно-линейной).
  Тогда функция  g(x) = fk(fk+1(...(fn(x))...) = (fk+1(...(fn(x))...)²  дырява, так как не принимает отрицательных значений. С другой стороны,
h(x) = f1(f2(...fk–1((x))...))  является дробно-линейной функцией (как композиция дробно-линейных). Поэтому и  f(x) = h(g(x))  – дырявая функция.
  2) Теперь докажем, что дырявая функция представима. Пусть имеется интервал, не содержащий значений функции  f(x).
  Постараемся композициями c дробно линейными функциями максимально упростить вид функции f(x).
  Вычтем из  f(x) единицу и обратим дробь. Получится функция вида     Если  p = 0,  то мы после умножения на q получаем функцию, представляющуюся в нужном виде:  x² + cx + d = (x + с/2)² + dc²/4.
  Если же  p ≠ 0,  то делаем линейную замену переменных  z = px + q  и получаем функцию вида     Вычтя B и разделив на A, получим окончательно функцию вида  x + D/x  (мы заменили z снова на x).
  Заметим, что  D ≠ 0  (в противном случае исходная функция  f(x) была бы дробно-линейной). Кроме того, D не может быть отрицательным. Действительно, уравнение  x + D/x = t  приводится к виду  x² – tx + D  и при  D < 0  имеет решение при любом t, что противоречит наличию интервала, свободного от значений функции  f(x).
  Таким образом,  D = s²,  где s – некоторое положительное число.
  Осталось заметить, что     то есть эта "упрощённая" функция представима.

Замечания

1. Вместо использования последней формулы в решении 1 можно воспользоваться следующим соображением. Функция  x + s²/x  линейными преобразованиями легко приводится к виду  x + 1/x.  К этому же виду приводится и функция  (x/x+1)²  (ведь она тоже дырявая). Итак (используя функцию
x + 1/x  как промежуточный этап), можно любую дырявую функцию), "дробно-линейными преобразованиями" превратить в функцию  (x/x+1)².

2. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1999
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М1688
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .