ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98438
Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В море плавает предмет, имеющий форму выпуклого многогранника.
Может ли случиться, что 90% его объёма находится ниже уровня воды и при этом больше половины его поверхности находится выше уровня воды?


Решение

Рассмотрим правильную пирамиду, плавающую вниз вершиной. Пусть площадь её боковой поверхности равна S. Тогда площадь основания равна  S cos α,  где α – угол наклона боковых граней к основанию. По условию под водой находится часть пирамиды, подобная исходной с коэффициентом подобия     Площадь боковой поверхности этой части равна k²S. Поскольку  2k² – 1 < 1,  мы можем так выбрать угол α, чтобы выполнялось неравенство  cos α > 2k² – 1.  Но тогда  2k²S < S + S cos α,  то есть под водой находится меньше половины поверхности пирамиды.


Ответ

Может.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .