ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98455
Темы:    [ Неравенства для площади треугольника ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Монотонность, ограниченность ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
  а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
  б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.


Решение 1

  а) Будем двигать точку C' по стороне AB от точки A к точке B. При этом длина высоты треугольника A'B'C', опущенной на основание A'B', будет либо оставаться неизменной (если  AB || A'B'),  либо убывать (как на нашем рисунке), либо возрастать. Поэтому площадь SA'B'C' заключена между SA'B'A и SA'B'B. Но  SA'B'A = ½ SA'CA ≤ ½ SABC  и  SA'B'B ≤ SBB'C = ½ SABC.

  б) Пусть A'' и C'' – середины соответственно сторон BC и AB. Если A' совпадает с A'', то  AB || A'B'  и, как показано выше,  SA'B'C' = SA''B'C' = ¼ SABC.  Если же A' не совпадает с A'', то прямые AB и A'B' не параллельны, поэтому площадь SA'B'C' монотонно изменяется при движении точки C' по стороне AB и, следовательно, может принять значение ¼ SABC только при одном положении точки C' (а именно при  C' = C'').


Решение 2

  Примем площадь SABC за единицу. Пусть  BC' : C'A = x : (1 – x),  BA' : A'C = y : (1 – y),  где  0 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ 1.  Тогда  SAB'C' = ½ (1 – x),  SA'B'C = ½ (1 – y),
SA'BC' = xy,  а  SA'B'C' = 1 – SAB'C' – SA'B'C – SA'BC' = ½ (x + y) – xy = ¼ – (½ – x)(½ – y).
  Теперь утверждение б) очевидно, а утверждение а) сводится к проверке неравенства  (½ – x)(½ – y) ≥ –¼,  которое следует из неравенств
|½ – x| ≤ ½,  |½ – y| ≤ ½.

Замечания

баллы: 2 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .