ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98471
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Разложение на множители ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре треугольника. Оказалось, что сумма площадей двух противоположных (имеющих только общую вершину) треугольников равна сумме площадей двух других треугольников. Докажите, что одна из диагоналей делится другой диагональю пополам.


Решение 1

Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD.  2SAOB = AO·OB sin∠AOB.  Запишем аналогичные равенства для площадей остальных трёх треугольников и заметим, что синусы всех четырёх углов с вершиной O равны. Поэтому условие задачи приводит к равенству
AO·BO + CO·DO = BO·CO + AO·DO.  Перепишем его в виде  (AO – CO)(BO – DO) = 0.  Если первая скобка равна 0, то O – середина диагонали AC, если вторая – диагонали BD.


Решение 2

Пусть середина K диагонали AC не совпадает с O. Площадь треугольника ABO отличается от площади треугольника CBO на 2SBOK (поскольку
SABK = SCBK),  а площадь треугольника CDO от площади треугольника ADO на 2SDOK. Поэтому указанное в условии равенство возможно только в случае  SBOK = SDOK,  то есть когда KO – медиана треугольника BKD.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .